Schauspielausbildung bei Louise Dumont in Düsseldorf, Bühnendebüt und Arbeit auch als Dramaturg und Regisseur.
Ab 1932
Theater-Engagements in Meiningen, München, Konstanz, Villingen, Bad Godesberg, Potsdam, Wuppertal und Bremen
1945
Engagement in Bremen. Kleinau bildet dort eine Bühnengemeinschaft. Auch Arbeit am Theater in Göttingen.
1949
Theaterarbeit in Hamburg. Erste Verpflichtungen zum Film Verführte Hände (R: Fritz Kirchhoff), Hafenmelodie (R: Hans Müller) und Schicksal aus zweiter Hand (R: Wolfgang Staudte).
1949
Bertolt Brecht holt ihn nach Berlin ans Berliner Ensemble, dessen Mitglied er bis zu seinem Tode bleibt. Arbeit am Deutschen Theater in Berlin. Bis dahin ein weitestgehend unbekannter Schauspieler, spielt er nun tragende Nebenrollen und einige Hauptrollen.
1949
Kleinau ist erstmals in einem DEFA-Film zu sehen. In Die blauen Schwerter (R: Wolfgang Schleif) ist er August der Starke.
1953
Gemeinsam mit dem Regisseur Artur Pohl und dem Schauspieler Karl Paryla erhält Kleinau den Nationalpreis für Kunst und Kultur II. Klasse für seine Mitwirkung am DEFA-Film Die Unbesiegbaren.
1955
Nachdem Kleinau in 14 DEFA-Filmen - unter anderem in Das Fräulein von Scuderi (R: Eugen York) mitgewirkt hat, steht er auch in der Bundesrepublik wiederum vor der Kamera. Er spielt unter anderem unter der Regie von Martin Paul in Das Bad auf der Tenne und bei Helmut Käutner in Der Hauptmann von Köpenick. Er ist der einzige wirkliche Star, der zur Hoch-Zeit des Kalten Krieges in beiden Teilen Deutschlands herausragende Filmrollen spielt.
1957
Letztmalig wirkt er in einer Hauptrolle in dem DEFA-Film Die Schönste (R: Ernesto Remani) mit. Der Film wird verboten und nach mehreren Überarbeitungen, die das "spießige Traumfabrik-Produkt" wenigstens ideologisch zu läutern versuchen, endgültig ins Archiv verbannt. Erst 2003 werden beide Versionen des Films veröffentlicht.
18. Oktober 1957
Kleinau kommt, kurz vor seinem 50. Geburtstag, bei einem Autounfall bei Merseburg ums Leben.